Transformée de Fourier $$\mathscr Ff (\xi)={{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-2\pi ix\xi}\,dx}}$$

• hypothèses :
    
• \(f\in L^1({\Bbb R})\)
• \(\mathscr Ff\) est continue et bornée
• majoration de la norme : \(\lVert \mathscr Ff\rVert_\infty\leqslant\lVert f\rVert_1\)
• formule d'inversion de Fourier : $$f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathscr Ff(\xi)e^{2\pi i\xi x}\,d\xi$$ (on a exprimé \(f\) comme une somme pondérée de signaux élémentaires)
• formulaire :
    
• translation : \(\mathscr Ff(a+\cdot)(\xi)\) \(=\) \(e^{2\pi ia\xi}\mathscr Ff(\xi)\)
    
• \(\mathscr F(x\mapsto e^{2\pi i bx}f(x))(\xi)\) \(=\) \(\mathscr Ff(\xi b)\)
    
• si \(f\in L^1\cap\mathcal C^1\) et \(f^\prime\in L^1\), alors \((\mathscr Ff^\prime)(\xi)\) \(=\) \(-2\pi i\xi\mathscr Ff(\xi)\)
        
• si \(f\in\mathcal C^k\) et \(f,\dots,f^{(k)}\in L^1({\Bbb R})\), alors \((\mathscr Ff^{(k)})\) \(=\) \((-2\pi i\xi)^k\mathscr Ff(\xi)\)
    
• \(\mathscr F(\) \(x\mapsto e^{-\lambda x^2}\) \(\xi)=\) \(\sqrt{\frac\pi\lambda}e^{-\pi^2\xi/\lambda}\)
    
• contraction/dilatation : \(\mathscr F\) \((x\mapsto f(\alpha x))\) \((\xi)\) \(=\) \(\frac1{\lvert\alpha\rvert}\mathscr F(\frac \xi\alpha)\)
• si \(\varphi\) est borélienne et exponentiellement décroissante à l'infini, alors \(\mathscr F\varphi\) a un prolongement holomorphe sur une borne
• on peut étendre la transformée de Fourier à \(L^2\) :
    
• si \(f\) \(\in L^1({\Bbb R})\cap L^2({\Bbb R})\), alors \(\hat f\in C_0\cap L^2({\Bbb R})\) et \(\lVert \hat f\rVert_2=\lVert f\rVert_2\) ( théorème de Plancherel)
    
• on peut calculer la transformée de Fourier de \(f\in L^2({\Bbb R})\) via \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }(\Bbb 1_{[-n,n]f})\hat\,\)
        
• ⚠ la formule de base avec l'intégrale n'a aucun sens si on a juste \(f\in L^2({\Bbb R})\) (en général, on n'aura pas \(f\in L^1({\Bbb R})\)) ⚠
• le module \(\lvert \hat x(f)\rvert\) est lié à l'amplitude de la sinusoïde de fréquence fondamentale \(f\) dans la décomposition de \(x(t)\) comme somme infinie de sinusoïdes
    
• si cette quantité est élevée, alors la sinusoïde de fréquence fondamentale \(f\) a une place importante dans cette décomposition
• l'argument \(\arg(\hat x(f))\) est lié au déphasage de la sinusoïde de fréquence fondamentale \(f\) dans la décomposition de \(x(t)\) comme somme infinie de sinusoïdes
• pour un Signal réel, seules les fréquences positives ont un vrai sens physique
• \(x(t)\) est réel \(\implies\) \(X(f)=X^*(f)\) (symétrie hermitienne)
    
• si de plus \(x(t)\) est pair, alors \(X(f)\in{\Bbb R}\) et \(X(-f)=X(f)\) (réel et pair)
• \(x(t)\) réel et impair \(\implies\) \(X(f)\in{\Bbb C}\setminus{\Bbb R}\) et \(X(-f)=-X(f)\) (imaginaire pur et impair)

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un problème majeur de la transformée de Fourier sur des images.
Verso: La décroissance des coefficients est trop lente lorsque la fonction a des points de discontinuité.
\(\to\) cela peut générer des Phénomène de Gibbs Bonus:
Carte inversée ?:
END

Propriétés

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la transformée de Fourier de $$x\mapsto f(x)e^{i\alpha x}$$
Verso: $$t\mapsto\hat f(t-\alpha)$$
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la transformée de Fourier de $$x\mapsto f(x-\alpha)$$
Verso: $$t\mapsto e^{-it\alpha}\hat f(t)$$
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la transformée de Fourier de $$x\mapsto f\left(\frac x\lambda\right)$$
Verso: $$t\mapsto\lvert\lambda\rvert\hat f(\lambda t)$$
Bonus:
END

Transformées de Fourier classiques

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la transformée de Fourier de $$x\mapsto e^{-ax^2}\quad\text{ avec }\quad a\gt 0$$
Verso: $$t\mapsto\sqrt{\frac\pi a}e^{-t^2/4a}$$
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la transformée de Fourier de $$x\mapsto e^{-a\lvert x\rvert}\quad\text{ avec }\quad a\gt 0$$
Verso: $$t\mapsto\frac{2a}{t^2+a^2}$$
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la transformée de Fourier de $$x\mapsto\Bbb 1_{[-a,a]}(x)$$
Verso: $$t\mapsto2\frac{\sin(at)}t\quad\text{ ou }\quad t\mapsto2a\operatorname{sinc}(at)$$
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la transformée de Fourier de $$x\mapsto\frac1{a^2+x^2}$$
Verso: $$t\mapsto\frac\pi ae^{-a\lvert t\rvert}$$
Bonus:
END

Questions de cours

Démontrer \((1)\) :

\(x\) est réel, donc égal à son propre conjugué.

On utilise la formule d'inversion de Fourier.

On conclut avec un changement de variable.

Démontrer \((2)\) :

On utilise la parité de \(x\).

Formule d'inversion de Fourier.

On conclut via un changement de variable.

Exercices

Ok avec plusieurs Changement de variables.

Cela revient à multiplier par une Fonction porte (donc convoler dans le domaine spectral.)

La transformée de Fourier de la partie en \(\cos\) vient via les Formules d'Euler, et donne des Distribution de Diracs.

L'autre formule est connue pour les fonctions porte.

Et la Convolution se calcule bien par linéarité et puisqu'une Distribution de Dirac est l'élément neutre pour la convolution.

On passe par la formule avec le Peigne de Dirac.

On développe par définition de la transformée de Fourier.

On conclut par inégalité triangulaire.